\chapter{交互固定效应}
	\section{模型的设置}
	一个包含$ p $个自变量的面板模型可以书写如下，
	\begin{equation}\label{m1}
	 y_{it} = \beta_1\cdot x_{1,it} + \cdots + \beta_p\cdot x_{p,it} + \nu_{it} + \epsilon_{it}
	\end{equation}
	
	其中，$ \nu_{it} $是时变的个体效应。该个体效应可以由一个因子模型表达如下，	
	\[ \nu_{it} = \sum_{l= 1}^{d} \lambda_{il}f_{lt} \]
	这里，$ \lambda_{il} $就是因子载荷，$ f_{lt} $就是因子，$ d $是因子的数目。为保证因子可以识别，我们需要一些正则约束条件，
	\begin{align*}
	\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}f_{lt}^2&=1\qquad l\in\{1,\cdots,d\}\\
	\sum_{t=1}^Tf_{lt}f_{kt} &= 0\qquad l,k\in\{1,\cdots,d\},k \ne l\\
	\sum_{i=1}^n\lambda_{il}\lambda_{ik} &= 0\qquad l,k\in\{1,\cdots,d\},k \ne l
	\end{align*}
	
	那么，\eqref{m1}式可以写成一个紧凑形式如下，
	\[ Y_i = X_i\beta + F\Lambda_i^\intercal + \epsilon_{i}  \]
	
	其中，
	\begin{align*}
	Y_i&=(y_{i1},y_{i2},\cdots,y_{iT})^\intercal,\epsilon_{i} =  (\epsilon_{it},\cdots,\epsilon_{iT})^\intercal\\
X_i &= (x_{i1}^\intercal,\cdots,x_{iT}^\intercal)^\intercal,\qquad \text{其中，}x_{it} = (x_{1,it},\cdots,x_{p,it})^\intercal\\
	\Lambda_i & = (\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n})^\intercal,\qquad\text{其中，}\lambda_{i}=(\lambda_{i1},\cdots,\lambda_{id})^\intercal\\
	F & = (f_1,\cdots,f_T)^\intercal,\qquad\text{其中，}f_t=(f_{1t},\cdots,f_{dt})^\intercal
	\end{align*}
	\section{模型的估计}
	在因子个数已知的情况下，通过最小化如下目标函数可以得到参数$ \beta,F $和$ \Lambda_{i} $，
	\begin{equation}\label{m2}
	 \sum_{i=1}^n \parallel Y_i-X_i\beta-F\Lambda_{i}^\intercal\parallel^2
	\end{equation}
	
	但要估计该式，一般如下迭代进行。给定$ F $，那么依据OLS原理，有，
	\[ \hat{\beta}(F)=\left(\sum_{i=1}^nX_i^\intercal P_dX_i\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^nX_i^\intercal P_dY_i\right), \qquad P_d=I-F(F^\intercal F)^{-1}F^\intercal=I-FF^\intercal/T\]
	
	给定$ \beta $，则$ F $可以通过对$ w_i=Y_i-X_i\beta $的因子分析而得到。具体为，先是估计$ w_i $的方差协方差矩阵$ \hat\Sigma $，然后取其前面$ d $个特征向量$ \hat\gamma=(\hat\gamma_1,\cdots,\hat\gamma_d) $来构造$ F $，亦即，
	\[ \hat F(\beta)=\sqrt{T}\hat\gamma \]
	
	然后给定一个初值，上述步骤即可迭代进行，从而得到最终的参数。但该法需要先定$ d $，实践中往往无法先知道$ d $。Bada and Kneip (2014)提出了一个决定$ d $的方法。其思路在于基于目标函数\eqref{m2}式增加惩罚项，
	\begin{equation}\label{m3}
	 \sum_{i=1}^n \parallel Y_i-X_i\beta-F\Lambda_{i}^\intercal\parallel^2 + l\cdot g_{nT}
	\end{equation}
		
	其中$ g_{nT} $是某种惩罚规则，在\verb|phtt|包的第3节有详细阐述。然后依据Cao and Ramsay (2010)的算法得到参数的序贯估计。具体为，
	\begin{enumerate}
		\item 给定$ \beta,F,d $，最小化\eqref{m3}式可以得到$ \Lambda_i $的估计值,
		\begin{equation}\label{m4}
		\hat\Lambda_i(\beta,F,d) = F^\intercal (Y_i-X_i\beta)/T
		\end{equation}
		\item 给定$ \beta,d $以及\eqref{m4}式计算的$ \Lambda_i $，最小化\eqref{m3}式，可以得到$ F $的估计值,
		\begin{equation}\label{m5}
		\hat F(\beta,d)=\sqrt{T}\hat\gamma(\beta,d)
		\end{equation}
		\item 给定$ d $以及\eqref{m4}式和\eqref{m5}式计算的$ \hat\Lambda_i $和$ \hat F $，最小化\eqref{m3}式，可以得到$ \beta $的估计值，
		\begin{equation}\label{m6}
		\hat\beta(d) = \left(\sum_{i=1}^nX_i^\intercal X_i\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^nX_i^\intercal (Y_i-\hat F\hat\Lambda_i^\intercal)\right)
				\end{equation}
		\item 根据上面步骤算出的$ \hat\Lambda_i,\hat F,\hat\beta $，就可以如下选择$ d $，
		\[ \hat d =\arg\min_l \sum_{i=1}^n \parallel Y_i-X_i\beta-F\Lambda_{i}^\intercal\parallel^2 + l\cdot g_{nT} \]
	\end{enumerate}

具体估计中，涉及到两个循环。一个是基于特定的$ d $不断迭代直至收敛，以得到各估计参数$ \hat\beta,\hat F,\hat\Lambda_i $。然后对于不同的$ \hat d $，选择使得目标函数值\eqref{m3}式最小的$ \hat d $。

应该注意到，无论目标函数是\eqref{m2}式或\eqref{m3}式，都不是全局凸的。因此，就不能保证算法收敛到全局最优。那么，此时选择初值就是非常重要的。我们建议初值选择可如下进行，即选一个大一点的$ d_{max} $，得到$ \beta $的估计，
\[ \hat\beta_{start}=\left(\sum_{i=1}^nX_i^\intercal (I-GG^\intercal)X_i\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^nX_i^\intercal (I-GG^\intercal)Y_i\right) \]

其中$ G $是相应于\eqref{m7}式方差协方差矩阵的前面$ d_{max} $个$ T\times d_{max} $维的特征值矩阵，
\begin{equation}\label{m7}
\Gamma =\frac{1}{nT}\sum_{i=1}^n(Y_i,X_i)(Y_i,X_i)^\intercal
\end{equation}


